Фамилия Сырбакова — женская форма фамилии Сырбаков, и её происхождение неочевидно с первого взгляда. В ней нет привычного славянского корня, и это подсказка: перед нами, скорее всего, фамилия тюркского происхождения, распространённая среди народов Поволжья и Урала — татар, башкир, чувашей.

Основа фамилии — слово «сыр» (в тюркских языках — «острый», «остроконечный», «выдающийся») или «сыры» (в казахском, башкирском — «сырой», «влажный»). Однако есть и другая, более конкретная версия: в татарском языке слово «сыр» может означать «тайна» или «секрет», а «сырбай» — прозвище человека скрытного, молчаливого или, наоборот, того, кто знает какой-то секрет. Суффикс -ак в тюркских языках часто образует прозвища или уменьшительные формы (сравните: «сыр» + «ак» → «сырбак» — «острый», «колючий» или «скрытный» человек). Затем к основе добавился русский патронимический суффикс -ов, который закрепился после вхождения этих земель в состав Российского государства. Таким образом, Сырбаков — «сын Сырбака», то есть потомок человека с прозвищем Сырбак.

Географически фамилия Сырбакова встречается в основном в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской и Челябинской областях. Если ваши предки оттуда, то, скорее всего, они были крестьянами или ремесленниками, а сама фамилия — не очень древняя, сформировавшаяся в XVIII–XIX веках, когда тюркские народы массово получали русские фамилии по отцу.

Интересно, что в русском языке слово «сыр» ассоциируется с молочным продуктом, но для этой фамилии такая версия маловероятна: в русских говорах прозвище «Сыр» могло дать начало фамилии Сыров, но не Сырбаков. Тюркский след здесь гораздо убедительнее. Если же рассматривать редкую возможность славянского корня, то «сыр» могло быть диалектным словом, означающим «сырой» (о человеке — «недотёпа»), но суффикс -бак для русского языка нетипичен, поэтому эту версию стоит отбросить.