Фамилия Таилова — женская форма от Таилов, и её разбор сразу упирается в неочевидный корень. В русской модели фамилий на -ов/-ев основа чаще всего связана с профессией, прозвищем или крестильным именем. Здесь же основа «Таил» не вписывается ни в один из привычных рядов: это не усечённая форма от Татьяна (там было бы Татьянин или Татьин), не от тюркского «тай» (жеребёнок) — суффикс -ил нехарактерен для таких заимствований.

Самая вероятная версия — фамилия образована от прозвища Таило. В русских говорах «таить» означало «скрывать, умалчивать, держать в секрете». Таилом могли назвать скрытного, неразговорчивого человека или того, кто умел хранить чужие тайны. Суффикс -ил в прозвищах встречается редко, но не уникален: ср. Громила, Светило. Модель «глагольная основа + -ил(а)» давала прозвища по действию или характеру. Позже такое прозвище закрепилось как фамильное имя: Таилов сын, то есть «сын Таила».

Менее правдоподобна связь с арабским именем Таиль (означает «охотник», «ищущий»), которое могло попасть в русскую среду через тюркское посредничество. Но в таком случае фамилия должна была бы сохранить ударение на втором слоге (Таи́лов), а в русских документах оно чаще падает на первый — Та́илов. Кроме того, фамилия Таилов не фиксируется в массовом порядке в регионах традиционного ислама, что делает эту версию слабой.

Географически фамилия Таилова встречается разрозненно, без ярко выраженного гнезда. В дореволюционных переписях она изредка попадается в центральных губерниях, что больше говорит о внутрирусском происхождении, чем о заимствовании. Встречаются варианты написания с одной «л» (Таилова) — это норма для фамилий на -ов, где двойная согласная не несёт смысловой нагрузки.

Таким образом, если ваши предки носили фамилию Таилов, скорее всего, они происходили из среды русских крестьян или мещан, а родоначальник получил прозвище за замкнутый нрав или за способность молчать о чужом секрете.