Фамилия Тарарыева — женская форма, мужская — Тарарыев. В основе лежит прозвище или мирское имя Тарарый, которое, скорее всего, образовано от глагола «тарарыкать» или «тарарычить». В русских говорах эти слова означают «болтать без умолку», «говорить вздор», «пустословить». Соответственно, Тарарыем в старину называли говорливого, суетливого человека, который любит много и не по делу говорить. Прозвище звукоподражательное, имитирующее быструю, тараторящую речь.

Словообразовательная модель проста: основа Тарарый + типичный русский патронимический суффикс -ев (вариант -ов после мягкого согласного). Фамилия указывает на прямого предка по мужской линии: «чей?» — Тарарыев, то есть сын Тарарыя. Обратите внимание, что в основе стоит не календарное (церковное) имя, а именно прозвище из живой народной речи. Такие фамилии часто отражали черту характера, привычку или манеру поведения первого носителя.

Географически фамилия редкая, её очаги могут быть связаны с северными и центральными областями России, где диалектное слово «тарарыкать» было в ходу. Встречается она и в среде старообрядцев, которые нередко сохраняли архаичные прозвища в качестве фамилий. В отличие от фамилий, образованных от крестильных имён (Иванов, Петров), Тарарыев — яркий пример «прозвищной» фамилии, которая прямо говорит о характере предка, не приукрашивая его.

Если рассматривать альтернативную, менее вероятную версию, то можно предположить связь с тюркским корнем «тарар» — «мешок, кулек». Однако для русского уха прозвище Тарарый звучит естественнее как производное от глагола речи, чем от заимствованного названия тары. Поэтому версия с «болтуном» и «пустомелей» — основная и наиболее правдоподобная.