Фамилия Тарлыгина образована от прозвища или нецерковного имени Тарлыга — по самой распространённой в русской ономастике модели с суффиксом -ин, указывающим на принадлежность: «чей?» — «Тарлыгин», то есть сын или потомок Тарлыги. Женская форма Тарлыгина, соответственно, закрепилась за носительницей как вариант по мужу или отцу.

Корень фамилии — тюркский. Слово «тарлык» или «тарлыг» в тюркских языках означает «теснота, узость, стеснённое положение»; в переносном смысле так могли назвать человека невысокого роста, худощавого или того, кто жил в бедности, в стеснённых обстоятельствах. Есть и другая версия: в некоторых тюркских диалектах «тарлык» — это название растения или топоним (местность, где растёт тарлык). В таком случае прозвище могло указывать на место жительства — выходец из местности Тарлык.

Фамилия редкая, её география узкая. Встречается в Поволжье и на Южном Урале — в зоне давних контактов русского и тюркского населения. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходят из крестьян или казаков этих регионов. Суффикс -ин, а не -ов, типичен для фамилий, образованных от прозвищ, оканчивающихся на -а/-я, что лишний раз подтверждает: в основе лежит личное прозвище, а не отчество от крестильного имени.

Сравните с однокоренными фамилиями Тарлыков, Тарлычев — все они восходят к тому же тюркскому корню, но оформлены по-разному. Тарлыгина стоит особняком благодаря суффиксу -ин и мягкому окончанию основы, что делает её менее типичной для русских фамилий тюркского происхождения.