Фамилия Тарновський (и её русское написание Тарновский) — это классический пример фамилии, образованной от географического названия. Основа здесь — топоним Тарнув (польск. Tarnów). Суффикс -ск- (-ськ-) указывает на связь с местностью: «тот, кто из Тарнува» или «принадлежащий к Тарнуву». Такая модель типична для польской шляхты и украинской старшины, где фамилии на -ский/-цький часто указывали на родовое поместье или место происхождения.

Вероятнее всего, предок носителя фамилии владел землёй или жил в городе Тарнув на юге Польши (современное Малопольское воеводство). Однако фамилия могла возникнуть и от других поселений с похожим названием — в Польше и на западе Украины есть несколько деревень Тарновка, Тарнова, а также город Тернополь, который в прошлом называли Тарнополь. Но прямая связь именно с Тарнувом самая очевидная. Ономасты (в частности, Б. Унбегаун) относят такие фамилии к разряду «территориальных», распространённых в Речи Посполитой.

Интересная деталь: в украинском языке фамилия пишется через «о» (Тарновський), а не через «а» (Тарнавський). Второй вариант (Тарнавський) тоже существует и происходит от другого произношения топонима или от слова «терен» (тёрн). Тарновський же чётко указывает на польский город Tarnów. Написание с твёрдым знаком (Тарновскій) до реформы 1918 года было нормой для русского языка, но сейчас сохранилось только в эмигрантских документах.

Социальный контекст фамилии двоякий. С одной стороны, окончание -ский в Российской империи часто ассоциировалось с дворянством или духовенством. С другой — множество крестьян и мещан на Правобережной Украине получали такие фамилии при переписях просто по месту жительства, без претензий на герб. Так что предки могли быть как мелкими шляхтичами, так и крестьянами из окрестностей Тарнува. Однозначно сказать, не имея генеалогии, нельзя — фамилия не даёт сословной гарантии, только географический намёк.