Фамилия Татаршаов — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не прозвище, а этноним, осложнённый нестандартным суффиксом. Если коротко: предок носителя, скорее всего, был татарином, но не простым, а с особым положением или внешним признаком, который закрепился в прозвище «Татарша».

Разбираем словообразовательную модель. Корень «татар» — указание на этническую принадлежность. Далее идёт суффикс «-ш(а)», который в русских и тюркских говорах мог придавать оттенок ласкательности, уменьшительности или, наоборот, указывать на человека с ярко выраженным признаком (ср. «татарша» — татарка, женщина-татарка, но в мужском прозвище это могло означать «похожий на татарина», «татарин по облику»). Затем фамильный суффикс «-ов», типичный для русской модели образования фамилий от прозвищ на -а. Получается: Татарша → Татаршаов — «сын Татарши».

Географически фамилия тяготеет к регионам, где исторически плотно соприкасались славянское и тюркское население: Северный Кавказ, Поволжье, южные области России. Встречается она нечасто, что указывает на локальное происхождение — возможно, от одного прозвища, закрепившегося за конкретным родом или семьёй.

Спорный момент: мог ли суффикс «-ша» быть не уменьшительным, а формой, заимствованной из тюркских языков, где он служит для образования имён? Вполне. В тюркской ономастике «-ша» встречается в именах вроде Абдуллаша, Ибрагимша. Но в русской фамилии Татаршаов логичнее видеть именно прозвище, а не имя: этноним в чистом виде редко становился личным именем, а вот прозвище по национальности — обычное дело.

Таким образом, предки Татаршаовых — не обязательно этнические татары. Прозвище «Татарша» мог получить русский крестьянин или казак, внешне похожий на татарина, перенявший какие-то черты быта или живший среди татар. Сословная принадлежность, скорее всего, крестьянская или казачья — фамилия не дворянская и не княжеская, суффикс «-ов» указывает на непривилегированные слои. Сведений о конкретных известных носителях в открытых источниках нет, что лишь подтверждает редкость и локальный характер фамилии.