Фамилия Тегина образована от личного имени или прозвища, как и большинство славянских фамилий. Если отбросить окончание -а, которое в русском языке указывает на женский род, перед нами основа Тегин. Это типичная притяжательная форма, отвечающая на вопрос «чей?»: Тега → Тегин сын → Тегин. Со временем окончание -ин в фамилии стало восприниматься как чисто грамматический показатель, и появилась форма Тегина для женщин, а для мужчин — Тегин. Такая модель с суффиксом -ин широко представлена в ономастике восточных, западных и южных славян — она указывала на принадлежность человеку по имени или прозвищу.

Само имя Тега, от которого все пошло, в древнерусских источниках не зафиксировано, поэтому здесь возможны две версии. Первая: это сокращенная, обиходная форма какого-либо христианского имени, например Терентий или Евтихий. В крестьянской среде полные имена часто резали на слух: Терентий мог превратиться в Терёху, а затем и в Тёгу. Вторая версия — прозвище, связанное с глаголом «тегать» (дергать, таскать). Так могли назвать непоседу, суетливого человека или того, кто выполнял тяжелую работу по перетаскиванию грузов. Прозвища по действию — один из древнейших пластов славянской антропонимии, и фамилия Тегина вполне могла возникнуть именно от такого бытового именования.

Стоит отметить, что фамилии с суффиксом -ин чаще встречаются на севере России и в Поволжье, тогда как на юге и западе предпочитали -ов/-ев. Поэтому можно предположить, что корни рода Тегиных — где-то в северных или центральных русских землях, хотя без архивных данных утверждать это сложно. Встречается и вариант написания через «е» — Тегина, и через «ё» — Тёгина, что отражает местные особенности произношения: в некоторых говорах «ё» заменялось на «е».

В отличие от фамилий, образованных от полных канонических имен, Тегина не несет в себе прямого указания на занятие или сословие предков. Это скорее семейное прозвище, которое закрепилось за родом и передавалось дальше. Если ваш предок носил имя Тега, то он, вероятно, был человеком энергичным и подвижным, либо его так дразнили за манеру дергаться или суетиться. Точную историю фамилии может прояснить только глубокое генеалогическое исследование с привлечением метрических книг и ревизских сказок, но даже без них ясно: за фамилией Тегина стоит живая разговорная традиция, а не книжная или канцелярская.