Фамилия Трясорук — один из ярких примеров русских «говорящих» прозвищ, которые закрепились в качестве родового имени. Её основа — повелительное наклонение глагола «трясти» и существительное «рука». В буквальном смысле прозвище Трясорук могли дать человеку с заметным тремором рук, но в народе такие имена часто имели ироничный или предостерегающий смысл. Скорее всего, так называли не столько больного, сколько суетливого, торопливого или ненадёжного человека, у которого «всё валится из рук». Реже — того, кто постоянно чем-то трясёт (например, отряхивает одежду или трясёт кого-то за плечо).

Словообразовательная модель здесь архаичная. Фамилия образована без суффикса, путём прямого сложения основы глагола и существительного. Такие фамилии (Вертихвостов, Держиморда, Сорвиголова) в основном бытовали в среде крестьян и посадских людей, где прозвища давали метко и без затей. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые часто возникали от отчества (Иван — Иванов), Трясорук — это застывшее прозвище самого первого носителя. Оно могло не меняться при передаче детям, но позже, при записи в документы, иногда получало окончание -ов или -ев. Поэтому стоит учитывать, что встречаются варианты Трясоруков — они означают то же самое, но оформлены по более привычной патронимической модели.

Географически фамилия редкая и локальная. Встречается преимущественно в центральных и северных регионах России, особенно в Вологодской и Архангельской областях. Это объяснимо: в северных говорах сохранялась архаичная лексика и склонность к образным прозвищам. В документах XVII–XVIII веков можно найти упоминания крестьян с таким прозвищем, но массового распространения фамилия не получила.

Интересная деталь: фамилия Трясорук не попала в широко известные словари русских фамилий (например, в словарь Б. Унбегауна), что говорит о её исключительной редкости. Она стоит в одном ряду с такими же «глагольными» фамилиями, как Убейкобыла или Подопригора, — их носители, скорее всего, происходят из одного или двух небольших родов, а не из разрозненных семей по всей стране. Если ваша фамилия именно Трясорук, а не Трясоруков, это может указывать на очень давнюю фиксацию прозвища без последующей русификации — что встречается нечасто.