Фамилия Цыкляева — редкий пример, где необычное звучание не обманывает: корень действительно неочевиден, и разобрать его можно по-разному. Самая вероятная версия связывает фамилию с прозвищем от диалектного глагола «цыкать» — то есть издавать резкий, отрывистый звук, прищёлкивать языком или зубами. В южнорусских и украинских говорах «цы́кать» могло означать «звать цыплят» (подзывать их звуком «цып-цып»), а в переносном смысле — «прикрикивать, одёргивать». Прозвище Цыкля или Цыкляй мог получить либо человек с привычкой цыкать, либо тот, кто работал с домашней птицей, либо же просто обладатель резкого, командного голоса.

Суффикс -ев- в окончании Цыкляева (а не -ов-) указывает на то, что основа прозвища оканчивалась на мягкий согласный или на -й: Цыкляй → Цыкляев. Модель образования типична для русских фамилий: прозвище отца (Цыкляй) плюс притяжательный суффикс, означающий «сын Цыкляя». Форма с -а на конце — женская, то есть носительница фамилии — женщина, а её предки по мужской линии писались как Цыкляевы.

Менее убедительная версия выводит основу из тюркских языков, где цык или чик — уменьшительный суффикс (сравните «чик» в русских фамилиях типа Шапчик). Но в таком случае фамилия скорее выглядела бы как Цыков или Цыкин. Кроме того, географически фамилия Цыкляева встречается в основном в центральных и южных областях России (Воронежская, Ростовская области), где тюркское влияние слабее, чем в Поволжье или на Урале. Так что версия с русским диалектным прозвищем остаётся основной.

Фамилия не относится к числу старых дворянских — её носители, скорее всего, были крестьянами или мещанами. В документах XVIII–XIX веков она не встречается, что говорит о её относительно позднем оформлении: многие подобные фамилии закрепились только после отмены крепостного права, когда крестьянам массово давали фамилии по прозвищам. Если искать однокоренные параллели, то ближайшие — Цыкин, Цыкалов, Цыкунов — все они образованы от того же звукоподражательного корня.