Фамилия Тутеева — женская форма от Тутеев, и её разбор стоит начать не с корня, а с модели образования. Суффикс -ев указывает на притяжательное значение «чей?» — то есть сын или потомок человека по прозвищу или имени Тутей. Сама основа Тутей в русской ономастике встречается редко, и здесь возможны два основных объяснения.

Первое и самое вероятное: прозвище Тутей связано с глаголом «тутить» или «тутенькать» — в северных и сибирских говорах так называли человека, который часто повторял слово «тут» («здесь»), либо того, кто был нерешительным, мялся на месте. В этом случае фамилия — типичное прозвище по речевой особенности или по характеру, вроде Тамоев или Здесьев. Второй вариант: Тутей может быть диалектным вариантом имени Тит или Фотий, где произошло стяжение и замена звуков — такое встречается в простонародной среде, где сложные церковные имена упрощали. Например, Тит в некоторых говорах превращался в Титя, а затем в Тутей.

Географически фамилия Тутеева тяготеет к Поволжью и Уралу, особенно к бывшим территориям Казанской и Вятской губерний. Там в переписях XVII–XVIII веков встречаются крестьяне и посадские люди с прозвищем Тутей. Сословно — скорее всего, крестьянская или мещанская фамилия, без дворянских корней. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» подобные модели разобраны, но сам корень Тутей не относится к частотным — это редкая основа, что делает фамилию ценной для локальной истории.

Интересная деталь: в некоторых записях XIX века фамилия писалась через «а» — Татеев, что могло быть следствием акающего произношения. Но современное написание Тутеева закрепилось именно в форме с «у». Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в метрических книгах Вятской или Казанской губерний — скорее всего, они были государственными крестьянами или ремесленниками.