Фамилия Угренис звучит для русского уха непривычно, и причина проста: она образована не от крестильного имени, а от прозвища Угрен, которое, в свою очередь, восходит к старому общеславянскому слову «угрин» — так на Руси называли венгров и мадьяр. Этот этноним дал начало целому пласту прозвищ и фамилий, и Угренис — одна из них.

Скорее всего, прозвище Угрен закрепилось за человеком по двум причинам. Либо он был потомком венгра, осевшего в славянских землях, либо славянином, который долго жил среди венгров, перенял их обычаи и речь, за что и получил такое прозвище. В те времена национальность определялась не столько по крови, сколько по укладу жизни, поэтому прозвище Угрен могло быть не оскорбительным, а скорее описательным.

Есть и другая, менее очевидная версия происхождения. В основе фамилии может лежать название реки Угры — левого притока Оки, протекающей по Смоленской и Калужской областям. В этом случае Угреном называли человека, жившего на берегах этой реки. Такая практика — давать прозвища по названию местной реки — была повсеместной, и версия выглядит вполне правдоподобной, хотя и уступает «венгерской» по частоте встречаемости в аналогичных фамилиях.

Наконец, нельзя полностью исключать и связь с угорскими народами России — хантами и манси. Однако эта гипотеза самая слабая: географически зона расселения этих народов (Приуралье и Западная Сибирь) далека от земель, где фамилия Угренис могла возникнуть в славянской среде.

Сама форма фамилии — Угренис — указывает на суффикс -ис, который не характерен для исконно русских фамилий. Такое окончание чаще встречается в фамилиях латышского или литовского происхождения, где оно выполняет роль патронимического суффикса. Это говорит о том, что фамилия, возможно, оформилась на западных окраинах Российской империи или в Прибалтике, куда прозвище Угрен могло попасть вместе с носителем. Впрочем, не исключено, что это позднейшая русифицированная или, наоборот, полонизированная форма, которая закрепилась в документах именно в таком виде.

Если суммировать: наиболее вероятное значение фамилии Угренис — «потомок или родственник человека по прозвищу Угрен», где само прозвище, скорее всего, указывало на венгерские корни или связь с венгерской культурой. Речная и угорская версии остаются вторичными, но полностью отбрасывать их нельзя — без архивных записей о первых носителях фамилии окончательный ответ дать невозможно.