Фамилия Уринюк — одна из тех, что сразу выдают украинское происхождение. Её выдает суффикс -юк, характерный для западноукраинских и, в меньшей степени, белорусских фамилий. Этот суффикс выполнял роль уменьшительности или указывал на принадлежность: «маленький» или «сын» того, кто назван в корне. В данном случае корень — Урин, который сам по себе мог быть как полным именем, так и прозвищем.

Самая прямая версия — отчество от личного имени Урин. В православных святцах есть имя Ур (Урий, Урин), редкое, но встречавшееся в крестьянской среде. Это библейское имя (в русской традиции — Урия), означающее «свет Господень» или «огонь Яхве». Уринюк, таким образом, изначально — «сын Урина» или «потомок Урия». В быту имя могло сократиться до Урин, что и дало основу для фамилии.

Менее вероятный, но возможный путь — от прозвища. В украинских говорах слово «урина» (от лат. urina) могло использоваться в переносном, ироничном смысле, но такое прозвище вряд ли закрепилось бы в качестве родового имени. Скорее, если корень не связан с именем, то он мог произойти от топонима — названия села или хутора Уринь (такие пункты есть на западе Украины, например, в Ровенской области). Тогда Уринюк — «выходец из Урини».

Географически фамилия Уринюк преимущественно встречается в Волынской, Ровенской и Житомирской областях, а также среди потомков переселенцев в Сибири и на Дальнем Востоке. Носители фамилии в XIX — начале XX века числились преимущественно крестьянами и мещанами, что типично для украинских отчественных фамилий на -юк.

Таким образом, предки носителей фамилии Уринюк, скорее всего, были людьми, чьего отца или деда звали редким библейским именем Урин, либо происходили из местности с похожим названием. Суффикс -юк однозначно указывает на украинскую языковую среду и время формирования фамилии — не ранее XVII–XVIII века, когда такие патронимические формы стали массово закрепляться.