Фамилия Вазягин — редкий пример, где основа не бросается в глаза и не имеет очевидных параллелей в современном русском языке. В отличие от фамилий на «-ов» от профессий или крестильных имён, здесь мы имеем дело с прозвищем, которое могло закрепиться за человеком из-за особенности речи или поведения.

Словообразовательная модель проста: суффикс «-ин» указывает на принадлежность — «чей?» — «Вазягин» означает «сын Вазяги» или «человек из семьи Вазяги». Основа «Вазяг-» — это усечённая или диалектная форма от глагола «вазжать». В русских говорах, особенно северных и уральских, «вазжать» означало «визжать», «пищать», «плаксиво жаловаться», «говорить тонким, неприятным голосом». Прозвище Вазяга, таким образом, давали капризному ребёнку, нытику или человеку с высоким, скрипучим голосом. Встречается и вариант «вазюкать» — «медленно говорить, мямлить».

Другая, менее вероятная версия, связывает фамилию с тюркским именем Вази (или Вазир), но в таком случае мы бы ожидали форму «Вазин» или «Вазиров». Суффикс «-яг-» (как в «беляга», «скряга») — чисто русский, прозвищный, с оттенком просторечия. Поэтому тюркская гипотеза слаба: она требует искусственного переосмысления корня, тогда как русская глагольная основа лежит на поверхности.

Географически фамилия Вазягин тяготеет к Вятке и Пермскому краю — регионам, где диалектное слово «вазжать» было в ходу. В дореволюционных переписях носители фамилии встречаются среди государственных крестьян и мещан. Сословной элиты среди Вазягиных, скорее всего, не было: прозвище далеко не героическое, и в дворянские гербовники такие фамилии не попадали.

Коротко: ваш предок получил прозвище Вазяга от слова «вазжать» — визжать или ныть. Фамилия сохранила живую народную речь, и сегодня её редкость — не повод для смущения, а маркер крепкой диалектной традиции русского севера.