Фамилия Вельчинкая — редкий случай, где написание подсказывает географию точнее, чем корень. В ней сразу бросается в глаза окончание -ая: это типичная «женская» форма фамилии на -ский/-цкий, которая закрепилась в документах у носительницы. Мужской вариант, скорее всего, Вельчинкий или, что вероятнее, Вельчинский — с более привычным суффиксом. Сама же основа «Вельчин-» восходит к топониму: Вельчино, Вельчин, Вельча — такие названия встречаются на западе России, в Беларуси и на Украине. Скажем, в Брестской области есть деревня Вельчин, а в Черниговской — урочище с похожим именем. Фамилия образована по стандартной модели «название места + суффикс -ск-», указывающей на выходца оттуда: Вельчинский — «тот, кто из Вельчина».

Корень «вель-» в славянских языках может значить «большой» (сравните с польским wielki — «великий») или быть связанным с древним словом «вель» — влажность, сырость. Вторая версия правдоподобнее для названий поселений: Вельчин мог стоять на болотистой низине или у реки. Но для фамилии это уже неважно — основное, что предок получил прозвание по месту жительства, а не по личному качеству.

Написание «Вельчинкая» вместо «Вельчинская» — не ошибка, а следствие аканья и упрощения в устной речи: звук [с] перед [к] оглушается, и на письме это иногда закреплялось, особенно в документах XIX — начала XX века. Такая форма встречается у потомков выходцев из западных губерний Российской империи, где польское влияние смешивалось с русским делопроизводством. Сословно фамилия могла принадлежать как крестьянам, переехавшим в город, так и мелкой шляхте — в Речи Посполитой Вельчинские известны с XVII века, но их родство с конкретным носителем фамилии без генеалогического исследования не подтвердить.

Коротко: Вельчинкая — это вариант фамилии Вельчинский, закреплённый за женщиной, а её корни — в названии небольшого села или хутора с основой «вель-». Носительница такой фамилии почти наверняка имеет предков из западных регионов, где топонимы на -ин особенно часты.