Фамилия Веренько — украинская по модели образования, что выдает суффикс -енко. В украинской ономастике этот суффикс — самый распространенный патронимический (отчество в форме «чей?»): Веренько буквально означает «маленький Вереня» или «потомок Верени». В русском варианте фамилия могла бы звучать как Веренин, но украинская форма закрепилась в исходном виде.

Основа фамилии — прозвище Вереня. Его происхождение неоднозначно, и здесь есть как минимум две версии, не исключающие друг друга.

Первая версия отсылает к глаголу «веренить» — «ходить или тянуться вереницами», а также «спешить, торопиться». Человек, получивший такое прозвище, мог быть суетливым, торопливым или, напротив, тем, кто постоянно водил за собой людей, «тянул вереницу» — например, старший в артели или многодетный отец.

Вторая версия связана с диалектным словом «веренька». В разных говорах оно означало: кошелку или корзину (отсюда — «веренье» как плетеное изделие); вязанку, охапку чего-либо; а также особый рыболовный снаряд. Если прозвище пошло от этого корня, то Вереней могли прозвать либо корзинщика (мастера по плетению), либо рыбака, либо человека, который постоянно что-то таскал в охапке — работящего или запасливого.

Существует и бытовая, народная трактовка: в некоторых регионах «вереней» иронично называли скуповатого, прижимистого хозяина — того, кто «веренит» добро, копит его в «вереньку» (кошелку). Но это скорее вторичное осмысление.

С географической точки зрения фамилия Веренько распространена в центральных и восточных областях Украины, а также среди потомков украинских переселенцев на Кубани и в Поволжье. Встречаются варианты написания с одной «н» (Веренко) — это более старая, упрощенная форма, где корень сократился, но суффикс остался тем же.

Таким образом, предок современных Веренько — это, скорее всего, человек по прозвищу Вереня, которое ему дали за характер (торопливый, хлопотливый) или за ремесло (рыбак, корзинщик). Фамилия закрепилась в XV–XVII веках, когда украинские патронимы на -енко вытеснили древние родовые имена и стали передаваться по наследству уже как фамилии, а не отчества.