Фамилия Веркашинская — редкий пример антропонима, в котором переплелись балтские и германские языковые следы, а суффикс выдаёт польское влияние. Разбираем по порядку.

В основе фамилии лежит прозвище Веркаш. Его происхождение спорно, и лингвисты предлагают две основные версии. Первая ведёт к литовскому глаголу verkti — «плакать». Если это так, то Веркашем могли назвать плаксивого, капризного ребёнка — прозвище по характерной черте поведения. Вторая версия отсылает к средненижненемецкому werch — «работа», «ремесло». Здесь Веркаш — уже не ребёнок, а взрослый: ремесленник, владелец мастерской, человек, чей социальный статус определялся трудом.

Обе гипотезы имеют право на существование, но вторая выглядит чуть весомее для фамилий с польским суффиксом. Дело в том, что суффикс -аш (в форме -asz, -asz) в польской ономастике часто образовывал прозвища от названий профессий или занятий. Сравните: kowal → Kowalasz, młynarz → Młynarzasz. Веркаш из werch вписывается в этот ряд. Литовская же версия даёт скорее внутрисемейное, бытовое прозвище, которое реже становилось основой для фамилий на -ский.

Фамильный суффикс -инск-/-ынск- (в женском роде -инская) — типично польский и западнорусский. Он указывает на дворянское или шляхетское происхождение: такие фамилии образовывались от названий поместий или имений (например, Веркашино → Веркашинский). То есть носитель фамилии Веркашинская — скорее всего, потомок мелкопоместной шляхты или однодворцев, владевших хутором или деревенькой Веркаши (или Веркашево) где-то на территории современной Беларуси, восточной Польши или западных областей Украины.

Сам переход от прозвища Веркаш к фамилии Веркашинский шёл по классической схеме: сначала прозвище закрепилось за главой семьи, затем, при образовании наследственного имени, к основе добавили топонимический суффикс, указывающий на принадлежность к роду из определённого места. Таким образом, Веркашинские — это «те, кто из Веркашей» или «люди Веркаша».

Географически фамилия встречается крайне редко. Основные очаги — Брестская и Гродненская области Беларуси, а также Подляское воеводство Польши. В России единичные носители — потомки переселенцев с запада империи. Ударение в фамилии, судя по польской модели, падает на второй слог: Верка́шинская.

Подводя итог: перед нами фамилия-гибрид. Основа — либо балтское прозвище по характеру, либо германское прозвище по профессии. Окончание — польское, дворянское. Сама фамилия — память о небольшом родовом гнезде, которое, скорее всего, не сохранилось на карте, но осталось в языке.