Фамилия Вервикина — редкий и неочевидный случай для русского ономастикона. Её форма (с суффиксом -ин) указывает на то, что в основе лежит прозвище или имя, оканчивающееся на -а или -я. Вопрос в том, что это за основа. Самое прямое объяснение: фамилия образована от прозвища Вервика. В русских говорах слово «вервика» — диалектное, но его можно связать с «вервь» (верёвка, бечева) или с глаголом «вервить» (вить, плести). Тогда Вервикой могли прозвать того, кто вил верёвки, занимался канатным делом или, в переносном смысле, был «вертлявым», изворотливым человеком.

Вторая версия, менее очевидная, но лингвистически допустимая: фамилия могла возникнуть от имени или прозвища, связанного с географическим названием. Есть река Вервика (Вологодская область) — правый приток Унжи. В этом случае фамилия указывает на выходца с берегов этой реки. Однако такая версия менее вероятна: фамилии от гидронимов обычно образуются с суффиксом -ский (Вервицкий), а не -ин.

Третья, совсем редкая гипотеза: основа может восходить к французскому «verve» (воодушевление, задор) — так могли прозвать бойкого или артистичного человека. Но это предположение слабое: фамилия явно русского словообразовательного типа, а заимствования такого рода в крестьянской среде XIX века почти не встречались.

Суффикс -ин указывает на «притяжательность»: Вервикина — дочь или жена Вервики. Фамилия недворянская, скорее всего, крестьянская или мещанская. Встречается она крайне редко, в основном в центральных и северных регионах России. Если ваши предки носили эту фамилию, с высокой вероятностью они были связаны с ремеслом плетения или жили на севере страны, где топоним Вервика мог дать прозвище.