Фамилия Яковенк — это, скорее всего, искажённая или сокращённая форма украинской фамилии Яковенко. В исходном виде она образована по типичной украинской модели с суффиксом -енко, который указывал на происхождение по отцу: «сын Якова». Корень здесь — каноническое имя Яков (древнееврейское Иаков, «следующий по пятам»). Такие фамилии на -енко в XVII–XVIII веках закрепились за казацкой старшиной и мещанами на Левобережной Украине, а потом разошлись по всей империи.

Форма без финального -о (Яковенк вместо Яковенко) встречается реже и обычно результат адаптации в русской среде: окончание могли отсечь при записи в документы, чтобы звучало «по-великорусски», или это описка переписчика. Встречается также вариант Яковенков — с двойным суффиксальным наращением, когда к украинской основе добавили русский -ов.

По сословной принадлежности предки носителя фамилии скорее всего были из крестьян или казаков, реже — из духовенства. Имя Яков было распространённым, поэтому точнее сказать нельзя: фамилия «патронимическая» и не привязана к конкретному ремеслу или месту. Споров вокруг происхождения почти нет — версия с именем Яков и суффиксом -енко считается бесспорной, альтернативные гипотезы (связь с диалектным «яковить» в значении «мудрить») слабые и не подтверждаются ономастическими словарями.

В современном бытовании фамилия редкая, чаще встречается в Краснодарском крае, Ростовской области и на юге Украины — в тех регионах, где смешивались украинские и русские фамильные модели. Если вы ищете именно Яковенк, то, вероятно, имеете дело с вариантом, который потерял конечное -о при русификации или из-за особенностей местного говора.