Фамилия Яськая — редкий пример, где географическая привязка почти наверняка перевешивает все прочие версии. Сразу бросается в глаза окончание -ая, которое в русских фамилиях характерно для женского варианта от мужской формы на -ский (-ской). Но в данном случае перед нами, скорее всего, не женская, а исходная форма фамилии, застывшая в именительном падеже. Такое окончание типично для украинских и южнорусских фамилий, образованных от названий сел или рек: Яськая — значит «родом из Яського».

Где искать это Яськое? Скорее всего, на Украине. Село Яськи существует в Одесской области, а также в Белоцерковском районе Киевской области. Фамилия могла закрепиться за переселенцами оттуда. В основе названия села — река Яська (приток Роси) или личное имя Ясь (уменьшительная форма от Иван, Яков, а иногда и от Ярослав). Таким образом, первый носитель фамилии получил её по месту жительства: «Яський» — тот, кто из Яськов. Со временем, при переносе в русскую среду, окончание -ий могло перейти в -ая по аналогии с прилагательными женского рода, или же фамилия изначально бытовала в форме Яськая как фамилия жены или вдовы, а затем закрепилась за детьми.

Вторая, менее вероятная версия, отталкивается от прозвища. В украинских говорах «яск» или «яса» — диалектные слова, связанные с шумом, криком, суетой. Человека могли прозвать Яськой за громкий голос или беспокойный нрав. Однако эта гипотеза слабая: прозвища редко давали с суффиксом -ск-, который почти всегда указывает на принадлежность к месту или роду.

С точки зрения словообразования, фамилия стоит особняком. Суффикс -ск- + окончание -ая создают форму, которая в русском языке почти всегда воспринимается как женская, но в украинской традиции может быть и мужской. Встречаются и однокоренные варианты: Яськов, Ясько, Ясский. Но Яськая — самая редкая и локальная из них. Если ваши предки носили эту фамилию, ищите корни в Центральной или Южной Украине, в районах, где есть речка Яська или село Яськи. Дворянского происхождения у этой фамилии, скорее всего, нет — она крестьянская или казачья, возникшая в XVIII–XIX веках при массовом закреплении прозвищ и географических указаний в качестве фамилий.