Фамилия Забурмеха — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти не изменилось за столетия. В ней нет типичных фамильных суффиксов -ов, -ин или -ский, а значит, перед нами так называемая «застывшая» форма — прямое прозвище, которое перешло в фамилию без дополнительной обработки. Такое часто встречалось на Украине, в Белоруссии и в южнорусских землях, где прозвища нередко становились фамилиями в исходном виде.

Основа фамилии — глагол «забурмехать» или существительное «забурмеха». В русских говорах «бурметь», «бурмить» означало говорить невнятно, бормотать, издавать глухие звуки. «Забурмеха» — человек, который говорит неразборчиво, мямлит, или, в переносном смысле, ворчун, недовольный. Не исключена и звукоподражательная природа: слово могло имитировать шум, гул или топот.

Вторая, менее очевидная версия, связывает корень с тюркскими языками. «Бурма» в ряде тюркских наречий — «кручёный», «витой», а также «оборотень» или «хитрец». «Забурмеха» могла быть прозвищем человека с хитрым, изворотливым характером или, наоборот, того, кто хромает или косолапит (от «кручёной» походки). Однако ввиду отсутствия в фамилии тюркских суффиксов и её «говорящего» звучания, славянская версия с бормотанием выглядит убедительнее.

Географически фамилия встречается крайне редко, в основном в западных областях России и в Белоруссии. Носители Забурмеха — почти наверняка потомки одного человека, получившего такое прозвище за манеру речи или поведения. Сословная принадлежность, скорее всего, крестьянская или казачья: в среде духовенства или дворянства такие «прямые» прозвища не приживались.

С точки зрения словообразования, это фамилия-прозвище с уникальной финалью -еха, которая встречается в единичных случаях (сравните с фамилией Чебуреха, имеющей другую природу). Никакой другой фамилии с таким же корнем и окончанием в русском ономастиконе нет, что делает Забурмеха абсолютно уникальным родовым именем.