Фамилия Загири — редкая и неочевидная для русского уха. В ней нет привычных суффиксов -ов, -ин или -ский, поэтому её происхождение почти наверняка невеликорусское, а скорее всего — восточное или кавказское.

Проще всего разобрать фамилию через основу «Загир». Это мужское личное имя, распространённое у народов, исповедующих ислам: татар, башкир, народов Кавказа и Средней Азии. Имя Загир (варианты — Захир, Загир) арабского происхождения и означает «сияющий», «блистающий», «помощник» или «победитель». Фамилия Загири, таким образом, образована от этого имени по модели, типичной для тюркских и иранских языков: к имени добавляется окончание -и, которое указывает на принадлежность. Буквально «Загири» можно перевести как «из рода Загира», «сын Загира» или «относящийся к Загиру».

В русском контексте фамилия Загири могла появиться двумя путями. Первый — как русифицированная форма тюркской фамилии, записанная при переписи населения или в документах. Второй — как фамилия, сохранившая исходную национальную форму без добавления русского суффикса. Такое часто встречается у народов Северного Кавказа, особенно у осетин, ингушей и чеченцев, где фамилии с окончанием на -и (например, Дзагоев и Дзагори, Кодзоков и Кодзоковы) фиксируются в разных вариантах.

Географически фамилия Загири тяготеет к регионам с тюркским и кавказским населением: Татарстан, Башкортостан, республики Северного Кавказа, а также страны Средней Азии. Встречается она и у азербайджанцев.

Менее вероятная, но возможная версия связывает фамилию с топонимом. На карте есть несколько небольших населённых пунктов с похожими названиями, например, село Загири в Грузии. В таком случае фамилия могла возникнуть как прозвище выходца оттуда: «Загири» — «тот, кто из Загир». Однако эта версия уступает по распространённости антропонимической (от личного имени).

Итог простой: в подавляющем большинстве случаев носитель фамилии Загири — потомок человека по имени Загир. Фамилия несёт в себе оттенок уважения и указывает на восточные корни, чаще всего татарские или кавказские.