Фамилия Заковряшин образована от прозвища Заковряша. В основе лежит диалектный глагол «заковряжиться» — «заупрямиться, заломаться». Так могли прозвать упрямого, капризного или несговорчивого человека. Однако не исключён и обратный, охранительный смысл: надеясь, что сын вырастет покладистым, родители намеренно давали ему прозвище с противоположным значением, чтобы обмануть «злые силы».

Словообразовательная модель здесь классическая для русских фамилий: суффикс -ин присоединяется к основе, оканчивающейся на -а. Форма Заковряшин буквально значит «чей?» — сын или потомок Заковряши. Такие фамилии типичны для северных и центральных областей России, где патронимы на -ин были особенно распространены.

Редкий корень «ковряж-» встречается и в других фамилиях — Коврягин, Ковряков, — но приставка за- выделяет Заковряшиных среди однокоренных. Она указывает на завершённое действие или состояние: «заковряжиться» — уже заупрямился, зашёл в отказ. Это отличает прозвище от, скажем, просто Ковряги, где корень мог означать «кривой, изогнутый» (от «коверкать»).

Точное время возникновения фамилии установить сложно: процесс закрепления прозвищ в качестве наследственных имён шёл несколько столетий, с XV по XVII век. Однако то, что фамилия сохранила диалектную глагольную форму, говорит о её глубоких корнях в народной речи.