Фамилия Заськин — одна из тех, где разбор начинается не с корня, а с вопроса: «а что за суффикс?». И сразу видно, что модель редкая. Большинство русских фамилий на -ин образованы от основ на -а/-я (Петров → Пётр, но Петин → Петя). Здесь же основа — «Заськ», и она явно усечена. Полная форма, скорее всего, звучала как Заська — а это уже прозвище или уменьшительное имя.

Откуда взялось Заська? Самое прямое объяснение — от имени Захар через просторечную форму Зася. Захар — древнееврейское имя («вспомнил Господь»), на Руси распространённое; в быту его легко могли сжать до Зася, а потом добавить уменьшительный суффикс -к(а) — Заська. Такой же путь прошли фамилии Засько (украинская) и Засин (от Зася без суффикса). Фамилия Заськин, таким образом, значит «чей?» — сын или потомок Заськи.

Версия с прозвищем тоже есть, но слабее. В северных и сибирских говорах «заська» могло означать нечто вроде «засова» или «задвижки» — от глагола «засовать». Но для прозвища это слишком предметно и редко; ономастические справочники (например, словарь русских фамилий Б. Унбегауна) такую основу не выделяют как продуктивную. Вероятность, что предка прозвали Задвижкой, ниже, чем что он был Захаровым внуком, которого звали Заськой.

Географически фамилия тяготеет к центральным и южнорусским областям — там, где имя Захар было особенно популярно. Встречается она нечасто, и это как раз случай, когда редкость объясняется не исчезновением носителей, а узостью самой модели: не каждый Захар становился Заськой, а потом Заськиным. Сословного барьера не было — фамилию могли носить и крестьяне, и мещане, и служилые люди, если в документах закрепилось именно это уличное прозвище.

Если ищете своих Заськиных, стоит обратить внимание на переписи конца XIX века по Курской, Воронежской и Тамбовской губерниям — там эта фамилия фиксируется увереннее всего.