Фамилия Заськина — женская форма фамилии Заськин, и её разговорный, даже несколько простоватый суффикс -ин сразу указывает на происхождение от личного прозвища или имени. В основе лежит слово «заська» — так в русских говорах, особенно на северо-западе и в Сибири, называли зайца. Это не литературное, а диалектное, уменьшительно-ласкательное или пренебрежительное название: «зайка» превратилось в «заська» через характерное для некоторых говоров «соканье» (замена «ц» или «ч» на «с»). Прозвище Заська могли дать человеку за робость, пугливость, быстрые движения или, наоборот, за любовь к заячьему мясу и охоте.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с глаголом «засать» (медлить, задерживаться) или «заснуть». В этом случае Заська — прозвище сонливого, медлительного человека. Однако фонетика здесь спорная: от «заснуть» естественнее образовалось бы Заснов или Заснин, а не Заська. Поэтому «заячья» версия выглядит убедительнее, тем более что в русской ономастике десятки фамилий от названий животных — Зайцев, Волков, Медведев — и Заськин вписывается в этот ряд, но с яркой диалектной окраской.

Фамилия редкая и не имеет устойчивой географии: её носители встречаются разрозненно, чаще в Вологодской, Архангельской областях и в Сибири, куда переселенцы принесли северные говоры. Сословно это почти наверняка крестьянская среда: прозвища от животных и бытовых черт в дворянских родах — исключение, а не правило. В справочниках по русским фамилиям Заськин не упоминается в числе старинных боярских или дворянских родов, что подтверждает его позднее, народное происхождение — не раньше XVII века, когда фамилии начали массово закрепляться у крестьян после отмены местничества и введения подушной переписи.

Однокоренные фамилии — Зайцев (самая частая), Зайкин, Зайчиков, а также диалектные Заско, Засков. Заськина стоит в том же ряду, но звучит грубее, «деревенское», чем её литературный аналог Зайкина. Если ваш предок носил такое прозвище, он, скорее всего, был крестьянином из северных или сибирских губерний, и прозвали его за повадки, напоминающие зайца — не обязательно в насмешку, а просто как меткую бытовую примету.