Фамилия Завалюева — вариант женского рода от мужской формы Завалюев. В основе — прозвище или нецерковное имя Завалюй. Разбираем его по частям: приставка «за-» и корень «-вал-», восходящий к глаголу «валять». Глагол этот в русских говорах многозначен: «валять» могли сапоги (катать валенки), «валять» — мять кожу, а в переносном смысле — делать кое-как, «свалять дурака» или даже повалить на землю.

Самый прямой путь к прозвищу — профессиональный. Завалюем могли назвать мастера, который «заваливал» что-то, например, заваливал войлок или валенки. В северных и центральных губерниях России валяльное ремесло было распространено, и прозвища по нему давали часто. Однако есть и бытовая версия: Завалюй — человек, который «заваливается» куда-то, то есть ленится, лежит, или, напротив, тот, кто «заваливает» других — борец, задира.

Словообразовательная модель с суффиксом -ев- типична для русских фамилий, образованных от основ на мягкий согласный или -й. В данном случае основа «Завалюй» даёт притяжательную форму «Завалюев» — сын Завалюя. Фамилия редкая, в общероссийских списках нечастотная, что указывает на её локальное происхождение — скорее всего, из одной местности или даже одного рода.

В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) подобные модели с приставкой «за-» и глагольным корнем встречаются: Завалишин, Завьялов. Завалюев стоит в этом же ряду, но с более конкретной и сниженной окраской прозвища. Социальный контекст, скорее всего, крестьянский или ремесленный — фамилия не дворянская и не духовная.

Если ваш предок носил фамилию Завалюев, он мог быть валяльщиком войлока, кожевником или просто человеком с ярким прозвищем, которое закрепилось за потомками. Точнее можно сказать, только найдя фамилию в переписях конкретной губернии — там, возможно, раскроется и местный говор, и род занятий.