Фамилия Завазиев образована от личного прозвища или нецерковного имени Завази, а её написание с суффиксом -ев указывает на русскую модель патронимии: так называли сына человека по прозвищу Завази. Основа фамилии неочевидна и допускает несколько версий, каждая из которых опирается на разные языковые традиции.

Первая версия связывает именование Завази с арабскими корнями. В этом случае первую часть «зав» возводят к арабскому «дав» — «свет», а вторую — к имени Гази, которое переводится как «воин». Цельное имя Завази могло означать «свет воина» или нести сакральный смысл, характерный для мусульманской антропонимии.

Вторая версия выводит прозвище из тюркских языков. Здесь обращают внимание на слово «зауза» — «май». Если это так, то именование Завази могло указывать на время рождения: ребёнок, появившийся на свет в мае, получал прозвище по названию месяца. Подобная практика встречается у тюркских народов, где календарные имена (например, Апрель, Март) становились личными прозвищами.

Третья, более прозаичная версия, которую не стоит сбрасывать со счетов, — связь с русским диалектным словом «завазь» или «завозиться». В говорах «завазью» называли топкое место, болотистую низину или грязь. Человек, живший у такого места или получивший прозвище за неопрятность, мог стать Завазей. Эта гипотеза объясняет фамилию без привлечения восточных заимствований, хотя и менее романтична.

Спор между версиями решает география. Фамилия Завазиев редкая, её очаги встречаются в Поволжье и на Северном Кавказе — регионах, где веками пересекались русский, тюркский и арабский культурные слои. Поэтому наиболее правдоподобным выглядит тюрко-арабское происхождение: именование могло прийти с татарским или кавказским влиянием, а затем оформиться русским суффиксом. Диалектная версия менее вероятна, так как слово «завазь» почти не фиксируется в письменных источниках.

В написании фамилии возможны варианты: Завазиев и Завазьев, но вторая форма встречается ещё реже. Сын Завази в документах мог записываться как Завазиев, что и закрепилось в паспортной системе.