Фамилия Завазиева образована от именования Завази. В её основе, скорее всего, лежат две смысловые части. Первая часть — «зав» — может восходить к арабскому слову «дав» (свет). Вторая часть, вероятно, связана с арабским именем Гази — «воин». Таким образом, именование Завази могло означать «светлый воин» или «воин света». Есть и другая версия: корень «зав» мог возникнуть из тюркского «зауза» — «май». В этом случае прозвище Завази указывало бы на время рождения — ребёнок появился на свет в мае.

Суффикс -ев- указывает на принадлежность: Завазиев — потомок человека по имени или прозвищу Завази. Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ или имён, оканчивающихся на -а/-я. Фамилия редкая, и её происхождение говорит о сложном переплетении арабских и тюркских языковых влияний, что характерно для южных регионов России, где веками жили рядом разные народы. Споров между версиями нет: обе возможны, и каждая по-своему объясняет, кем мог быть предок — воином или человеком, чьё рождение совпало с маем.