Фамилия Завершинских принадлежит к архаичной и интересной модели русских фамилий — на -их/-ых. В отличие от массовых фамилий на -ов/-ев (Иванов, Смирнов) или -ин (Пушкин, Репин), эта модель закрепилась в северных и северо-восточных регионах России, особенно в бывших новгородских землях, на Урале и в Сибири. Такие фамилии по происхождению — притяжательные прилагательные во множественном числе: они отвечали на вопрос «чьи?» и обозначали принадлежность целому роду или семье. Завершинские — значит «из рода Завершина» или «люди, живущие у Завершина».

Корень фамилии — «заверш-» — отсылает к слову «верх», «вершина». В русских говорах «завершить» означало не только «закончить», но и «расположить наверху, на вершине». Прозвище Заверша или Завершок могли дать человеку, жившему на возвышенности, на краю оврага или на верхнем конце деревни. В топонимике часто встречаются названия вроде Завершье, Завершинская — так называли селения, стоящие у вершины реки или на высоком берегу. Поэтому первый носитель фамилии, скорее всего, получил прозвище по месту жительства: «тот, кто с вершины, с верхнего конца».

Менее вероятная, но возможная версия — прозвище по характеру или положению. «Заверша» могли назвать человека, который любил быть первым, «на вершине», или того, кто завершал какое-либо дело, был последним в очереди («завершающий»). Однако географическая привязка для фамилий на -их/-ых более типична: такие фамилии часто возникали как ответ на вопрос «откуда вы?» — «мы с Завершина, Завершинские».

Сословная принадлежность у этой фамилии не фиксировалась в дворянских родословных книгах, что указывает на крестьянское или посадское происхождение. Встречается фамилия в записях XVII–XVIII веков по Вятской, Пермской и Архангельской губерниям — как раз в зоне распространения фамилий на -их/-ых. Интересная деталь: в некоторых переписях XIX века писали «Завершинских» через «о» — «Завершинских», но это, скорее всего, диалектное произношение или ошибка писаря, не меняющая этимологии.

Таким образом, фамилия Завершинских — севернорусская, с прозрачной географической основой. Она рассказывает о предке, который жил «на верху» — на холме, у вершины реки или на краю поселения, и о том, что его потомки долго сохраняли родовое самоназвание в форме множественного числа, характерной для Русского Севера.