Фамилия Завершинкая — редкий случай, когда географическая привязка и словообразовательная модель вступают в противоречие. На слух она кажется типичной «польской» или «белорусской» из-за суффикса -ская, характерного для шляхетских фамилий. Но корень «заверш-» указывает на русскую основу: «завершить», «верх», «вершина». Скорее всего, перед нами фамилия, которую дали человеку, жившему «за вершиной» — за холмом, за горой, за самым высоким местом в округе. Так могли прозвать крестьянина, чей дом стоял с обратной стороны заметного возвышения, или переселенца, который обосновался по ту сторону хребта.

Однако есть и другая версия, менее очевидная, но более точная. В северных говорах (архангельских, вологодских) «завершить» означало не только «закончить», но и «покрыть крышу», «сделать навес». Прозвище Заверша или Завершной могли дать плотнику или кровельщику, который ставил «завершку» — верхнюю часть строения, конёк крыши. Тогда Завершинкая — это притяжательная форма от имени отца: «чей?» — Завершиного, то есть потомок того самого мастера-кровельщика. Фамилии на -ский и -цкий в крестьянской среде часто возникали не от названий имений, а от прозвищ — просто как указание на родство: «Ивановский» означало «Иванов сын», а «Завершинский» — «сын Заверши».

Написание через «к» — Завершинкая, а не Завершинская — тоже не случайность. Это не опечатка, а возможный след старой орфографии или диалектного произношения. В некоторых регионах (особенно на юге России и в украинском пограничье) суффикс -ская в бытовой речи и в документах упрощали до -кая: Павловская звучала как Павловкая. Такая форма закреплялась в метриках и переписях, а потом переходила в паспорт. Если ваши предки родом из Курской, Воронежской или Ростовской областей, это объяснение самое правдоподобное.

Фамилия редкая. В современных справочниках она почти не встречается, а в исторических документах — только в единичных записях конца XIX века по южным губерниям. Это значит, что носители Завершинкой — потомки, скорее всего, одной-двух семей, которые не размножились широко. Анализ однокоренных фамилий (Завершин, Завершнев, Завершонков) показывает, что основа «заверш» чаще всего встречается в Вологодской и Архангельской губерниях, но там фамилии оканчиваются на -ин или -ов. Ваш вариант на -кая — результат миграции на юг, где суффикс изменили на слух.