Фамилия Завершнева — женская форма от Завершнев, и её разбор стоит начать с суффикса. Модель на -ев указывает на происхождение от прозвища или имени, оканчивающегося на мягкий согласный или -й. В данном случае основа — Завершн-, что сразу отсылает к слову «завершить», «завершение». Но не спешите думать, что предок был «завершителем» какого-то дела. В русских фамилиях редко встречаются прямые отглагольные формы в такой огласовке. Гораздо вероятнее, что в основе лежит прозвище Завершня или Завершень — человек, который жил «на завершье», то есть на краю, на конце села или на отшибе. В диалектах «завершье» — это дальний конец оврага, балки или граница поля. Фамилия могла закрепиться за крестьянином, чей дом стоял на отлёте, за последней межой.

Вторая версия, более редкая, связывает фамилию с именованием по отцу от неканонического имени Заверш — возможно, так в семье называли позднего, «завершающего» ребёнка, последнего в роду. Такие имена-пожелания встречались в северных и центральных губерниях, где детей могли нарекать по обстоятельствам рождения. Однако географически фамилия Завершнев тяготеет к южнорусским областям — Воронежской, Курской, Ростовской, где «завершье» как топографический термин было в ходу. Это делает первую версию с прозвищем по месту жительства самой надёжной.

Словообразовательный нюанс: суффикс -н- в основе (Завершн-) мог возникнуть как усечение от «Завершный» — прилагательного, указывающего на признак. Сравните с фамилиями Завершный, Завершняк — они однокоренные и встречаются в тех же регионах. Интересно, что фамилия Завершнева почти не фиксируется в дворянских родословных или купеческих списках — её носители, судя по всему, были крестьянами или однодворцами, то есть потомками служилых людей, осевших на южных рубежах. В современных базах фамилия редкая, что подтверждает её локальный, а не общерусский характер.

Если ваш предок носил фамилию Завершнев, скорее всего, он жил на окраине поселения, на краю оврага или поля, и соседи дали ему прозвище по этому признаку. Фамилия не имеет отношения к «завершению» в переносном смысле — она сугубо географическая и бытовая.