Фамилия Заверуя — редкий случай, когда прозвище превратилось в фамилию почти без изменений, сохранив глагольную форму. В её основе лежит украинский или южнорусский глагол «заверувати» — то есть начать веровать, уверовать, а чаще — «заверить», «удостоверить». Но прямое значение прозвища, скорее всего, было ироничным: Заверуя — человек, который «заверяет», клянётся в чём-то, но его словам не особо верят, или же тот, кто легко и быстро «уверовал» во что угодно. В народной среде такие прозвища давали болтунам, пустословам или, наоборот, чрезмерно доверчивым людям.

Словообразовательная модель здесь архаичная. Фамилия образована от формы 3-го лица единственного числа глагола (он заверует/заверуя), что характерно для украинских и белорусских прозвищных фамилий (сравните: Непийвода, Паливода, Гуляйполе). Русская традиция чаще переделывала бы такое прозвище в Заверуев или Заверуйкин, добавив суффикс принадлежности, но украинский говор оставил форму застывшей. Это указывает на то, что фамилия могла возникнуть на территории Левобережной Украины или в южнорусских губерниях, где было сильно украинское влияние.

Встречается она крайне редко. Если бы фамилия была образована от имени или профессии, её география была бы шире. Здесь же узкий ареал — скорее всего, Черниговская, Полтавская или Киевская области, откуда носители могли разойтись по России и Беларуси. В дореволюционных метрических книгах фамилия фиксируется в основном среди крестьян и казаков, что логично: прозвища из бытовой речи — удел простонародья.

Спорных версий немного. Иногда Заверую ошибочно связывают с польским «zawierzyć» (доверить), но это тот же корень, только в другой языковой огласовке. Более экзотическая гипотеза — связь с румынским «a încredința» (вверять), но она не выдерживает критики: фамилия слишком органично вписывается в восточнославянскую модель. Правдоподобнее всего — бытовое прозвище, данное человеку с весёлым или несерьёзным характером, который «всё заверял», но мало что делал.

В современной России и Украине фамилия Заверуя — штучная, почти музейная. Она не растворилась в массе «стандартных» фамилий на -ов и -ин, а донесла до нас живую разговорную речь XVII–XVIII веков, где прозвище могло быть целой характеристикой человека в одном слове.