Фамилия Заверюхины — одна из тех, где за основу взято не имя, а прозвище, и это сразу задаёт направление поиска. Исходное слово — Заверюха. Его толкование неоднозначно, и в этом главный интерес.

Самая прямая версия отсылает к глаголу «заверять» — то есть «удостоверять, обнадеживать, ручаться». Тогда Заверюхой могли прозвать человека с даром убеждения, который легко склонял собеседника на свою сторону. Либо — что правдоподобнее в бытовом контексте — поручителя или ответчика, который выступал в чужих интересах и своим словом «заверял» сделку или обещание.

Но есть и вторая, менее очевидная линия. В диалектах, особенно северных и сибирских, встречается глагол «завереть» — «заплести (лапоть, кошелку), залатать, починить». Это меняет картину: Заверюхой могли назвать не красноречивого говоруна, а мастера по плетению лаптей или корзин, умельца, который «заверет» любую дыру. Такое прозвище — по ремеслу — встречается в русских фамилиях не реже, чем по характеру.

Словообразовательная модель проста: прозвище на -юха (Заверюха) плюс типичный русский суффикс принадлежности -ин. Форма Заверюхины — множественное число, указывающее на род или семейство. Такие фамилии на -ин обычно закреплялись за потомками мужчины, носившего это прозвище.

Точная география бытования фамилии не установлена, но по косвенным данным — встречаемости в архивных записях и современных справочниках — основная зона тяготеет к центральным и северным областям России, где диалектное «завереть» было в ходу. Южные варианты с корнем «завер-» чаще связывают именно с «заверять», то есть с речью.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Заверин, Заверяев, Заверюха (без суффикса) — показывает, что все они образованы от одного корня, но разными суффиксальными моделями. Заверюхин — самая «бытовая» форма, характерная для крестьянской и мещанской среды, где прозвища давали по делу или по ремеслу, а не по отчеству.

Таким образом, фамилия Заверюхины — это не просто «памятник письменности», а живой след конкретного человека: либо убедительного говоруна-поручителя, либо мастера-лапотника. Обе версии равноправны, и выбрать одну без дополнительных генеалогических данных невозможно.