Фамилия Заверюхин образована от прозвища Заверюха, а то, в свою очередь, — от глагола «заверять», то есть «удостоверять, обнадеживать, уверять; свидетельствовать, ручаться». Модель типична для русских фамилий: к основе на -а добавляется суффикс -ин, указывающий на принадлежность («чей?»). Значит, Заверюхин — это «сын Заверюхи» или «человек из рода Заверюхи».

Прозвище Заверюха могло закрепиться за человеком с даром убеждения — тем, кто умел легко склонить собеседника на свою сторону. Но есть и более конкретная версия: Заверюхой называли поручителя или ответчика, который выступал в интересах другого и заверял сделку или обещание. В допетровской Руси, где многие деловые отношения держались на слове и личном ручательстве, такое прозвище было не редким, а социально значимым — оно указывало на профессию или общественную роль.

Словообразовательный ряд у фамилии короткий: однокоренные Заверин, Заверихин встречаются, но редко. Суффикс -юх- в основе Заверюха — экспрессивный, характерный для прозвищ с оттенком снисходительности или шутливости (сравните: Ветрюха, Болтюха). Это не делает прозвище обидным, но подчёркивает бытовую, неофициальную среду, в которой оно возникло.

География фамилии не обширна: Заверюхины встречаются в центральных и северных областях России, особенно в Вологодской и Архангельской губерниях, где суффикс -юх- в прозвищах был распространён. В казачьих и южнорусских регионах фамилия почти не фиксируется.

Никаких сведений о дворянском происхождении Заверюхиных нет — скорее всего, это крестьянская или мещанская фамилия, возникшая не ранее XVII века, когда прозвища начали массово переходить в наследственные фамилии.