Фамилия Заверюха образована от прозвища, которое, скорее всего, связано с глаголом «заверять» — удостоверять, обнадеживать, ручаться. В старину заверюхой называли человека, обладавшего даром убеждения и умевшего склонить собеседника на свою сторону. Но, возможно, прозвище имело и более конкретный, деловой смысл: так могли прозвать поручителя или ответчика, который заверял сделку или выступал в суде в интересах другого человека. Такая практика была распространена в русском праве, когда за кого-то «заверяли» слово или давали поручительство.

Словообразовательная модель фамилии — суффикс -юх(а). Это характерный для русских прозвищ суффикс, который придаёт слову оттенок просторечия и иногда пренебрежения, но в случае с Заверюхой скорее указывает на прозвище, данное по действию или свойству характера. Аналогичные фамилии — Верюха, Крутюха, Бредюха — тоже образованы от глаголов и описывают поведение человека.

Встречается фамилия Заверюха в южнорусских и украинских говорах, где суффикс -юха особенно активен. В документах XVII–XVIII веков можно найти упоминания людей с таким прозвищем среди казачества и крестьян: например, в реестрах слободских полков попадаются Заверюхи, что подтверждает бытовое, а не книжное происхождение фамилии. Известный носитель — российский политик 1990-х годов Михаил Заверюха, что доказывает: фамилия не утратила актуальности и в современной истории.