Фамилия Завереха — яркий пример прозвищного имени, которое закрепилось за человеком из-за его манеры поведения или речевой привычки. В её основе лежит украинский или южнорусский глагол «верещати» — кричать, визжать, издавать резкие звуки. Приставка «за-» указывает на начало или интенсивность действия: «завереха» — тот, кто вдруг завопил, поднял шум, или же человек, который постоянно заводится с пол-оборота, скандалит.

Словообразовательная модель здесь нестандартная. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий на -ов или -ин, Завереха сохранила форму чистого прозвища без патронимического суффикса. Такие «глагольные» фамилии характерны для украинской и белорусской традиции, где прозвища в именительном падеже переходили в фамилии напрямую (сравните: Несмеяна, Прибега, Забара). Это говорит о том, что носитель фамилии, скорее всего, происходил с запада или юга России, из регионов, граничащих с Украиной и Белоруссией.

В словарях восточнославянских прозвищ встречается слово «вереха» — крикун, плакса. Форма «завереха» усиливает значение: это не просто крикливый человек, а тот, кто «заводит верещагу» — затевает ссору или поднимает панику. В некоторых говорах «вереха» могла означать и неопрятную, растрепанную женщину, но для фамилии первично именно звуковое, а не внешнее описание. Социальный статус предка, скорее всего, был крестьянским или казачьим — прозвища такого типа редко давали дворянам.

Фамилия редкая, её географическое ядро — Черниговская, Сумская области Украины и прилегающие районы Брянской и Курской областей России. Встречается также в Беларуси. С точки зрения ударения, оно падает на второй слог: Заве́реха. Иногда в документах встречается написание через «и» — «Завиреха», что является диалектным вариантом того же корня.