Фамилия Заворочай — звонкая, глагольная, немного неуклюжая. Она сразу выбивается из ряда стандартных русских фамилий на -ов и -ин, и это главный ключ к её разгадке. Перед нами не отчество и не указание на профессию, а застывшее прозвище-глагол в повелительном наклонении: «Заворочай!». Такие фамилии (Вертипрах, Убейкобыла, Держиморда) в старой России давали не для красоты, а как оберег или, чаще, как насмешливую характеристику.

Основа здесь — глагол «заворочать», то есть завернуть, своротить, перевернуть что-то тяжёлое. Прозвище Заворочай мог получить человек суетливый, непоседливый, который всё крутил и вертел не на месте. Но есть и другая, более конкретная версия: так могли прозвать силача или работягу, способного в одиночку «заворочать» бревно, камень или воз сена. В говорах слово «заворочать» имело и оттенок «завладеть», «захватить» — тогда прозвище намекало на хваткого, предприимчивого человека.

Суффикса у фамилии как такового нет — типичная для восточнославянских языков модель «чистого» прозвища, которое просто поставили в именительный падеж и закрепили за родом. По той же модели образованы фамилии Непейвода, Покусай, Сорвиголова. В отличие от фамилий на -ов, которые указывали на принадлежность отцу, Заворочай — это прямая характеристика самого первого носителя.

Географически фамилия редкая и встречается точечно, преимущественно на юге России и в украинских областях, где живы глагольные формы с окончанием -ай (сравните: «гуляй», «думай»). В документах XVII–XVIII веков такие прозвища нередко фиксировали за казаками и вольными поселенцами — людьми, которых не записывали в регулярные переписи под строгим отчеством. Возможно, предок Заворочай был из тех, кто «заворачивал» не только бревна, но и чужие границы или порядки.

В написании фамилия устойчива: ударение, скорее всего, падает на последний слог — Завороча́й. Вариант с ударением на «о» (Заворо́чай) звучит неестественно для русского уха и противоречит глагольной природе слова. Сравните с однокоренными фамилиями Ворочай, Переворочай — они встречаются ещё реже, но все указывают на одно: предок был человеком действия, а не пассивным наблюдателем.