Фамилия Зологёнков — нечастый случай в русской ономастике, и её разбор стоит начать с суффикса. Окончание -ов указывает на стандартную модель образования от отчества или прозвища: «чей?» — Зологёнков, то есть сын Зологёнка. Но именно основа Зологёнок вызывает вопросы. Скорее всего, это не уменьшительная форма от «золото» (хотя на слух кажется очевидным), а прозвище, образованное от диалектного или профессионального слова.

В русских говорах слово «золог» или «золотник» могло означать мастера по золоту — ювелира, позолотчика, а также человека, занятого промывкой золота. Суффикс -ёнок (и его вариант -онок) в северных и сибирских говорах часто добавляли к основе для обозначения детёныша животного или молодого человека по роду занятий: например, «рыбёнок» — сын рыбака, «плотёнок» — сын плотника. Соответственно, Зологёнок — это «сын золотника» (золотых дел мастера) или «маленький золотник». Ударение в фамилии падает на второй слог (Зологёнков), что типично для таких образований.

Географически фамилия редкая и, по доступным данным, встречается в основном в центральных и северных областях России — в Костромской, Вологодской, Кировской областях. Это косвенно подтверждает версию о происхождении от ремесла: в этих регионах были развиты ювелирные промыслы (например, знаменитое костромское золотое шитьё и обработка металлов). Вторая, менее вероятная версия — отчество от имени Зологёнок как уменьшительной формы от Золот (редкое календарное имя Золот, от греческого «золотой»), но в святцах такое имя не зафиксировано, так что прозвищный путь выглядит правдоподобнее.

Если ваш предок носил фамилию Зологёнков, он с большой вероятностью происходил из семьи ремесленников, связанных с обработкой драгоценных металлов, или из среды старателей на уральских приисках. В любом случае, это одна из тех фамилий, что хранят память о профессии, а не о личном качестве.