Фамилия Зябцов — яркий пример того, как прозвище, данное одному человеку, закрепилось за целым родом. В её основе лежит глагол «зябнуть», то есть мёрзнуть, коченеть от холода. Соответственно, прозвище Зябец могли дать очень зябкому, мерзлявому человеку, который постоянно кутался, жаловался на холод или был особенно чувствителен к низким температурам. В говорах слово «зябкий» означало не только «чувствительный к холоду», но и «хилый, слабый», так что прозвище могло указывать и на общую болезненность.

Модель образования типична для русских фамилий: к основе Зяб- добавляется суффикс -ец, образующий прозвище (Зябец), а затем патронимический суффикс -ов, который буквально означает «сын Зябца». Таким образом, Зябцов — это «сын того, кого звали Зябцем». Стоит отметить, что форма с суффиксом -ец встречается реже, чем более распространённая Зябликов (от птицы зяблик), что делает фамилию Зябцов более редкой и узко локальной.

Поскольку фамилия образована от прозвища, а не от крестильного имени, она, скорее всего, возникла в среде крестьян или посадских людей, где такие «домашние» именования были обычным делом. В официальных документах XVII–XVIII веков прозвище Зябец могло фиксироваться и без суффикса, просто как Зяб, а потом обрастать фамильным окончанием. Географически фамилия тяготеет к северным и центральным регионам России, где холода — привычная часть жизни, и прозвище было особенно понятным и метким.

В ономастике иногда проводят параллель между фамилией Зябцов и однокоренными Зяблов, Зябрев. Все они восходят к одному корню, но различаются суффиксами: Зяблов — от прилагательного «зяблый», Зябрев — от устаревшего «зябрь» (зябкий человек). Зябцов стоит в этом ряду особняком именно благодаря суффиксу -ец, который в русских прозвищах часто придавал оттенок уменьшительности или ироничной ласки: Зябец — не просто мёрзнущий, а «такой вот зябкий, бедняга».