Фамилия Афинис сразу обращает на себя внимание необычным для русского языка окончанием -ис. В исконно русских фамилиях преобладают суффиксы -ов/-ев или -ин, а окончание -ис — верный признак греческого происхождения. В греческом языке множество фамилий оканчивается на -ис, например Пападис или Христофидис. Поэтому первая и основная версия: фамилия Афинис имеет греческие корни.

Основа «Афин-» прямо указывает на столицу Греции — Афины. По-гречески город называется Αθήνα (Афина), а житель — Αθηναίος (Афинеос). При адаптации в русском языке греческие фамилии часто теряли часть окончания. Афинис могло возникнуть как русифицированный вариант фамилий вроде Афинидис или Афинайос, где суффикс -ис заменил более длинное окончание. Иными словами, предок носителя такой фамилии мог быть уроженцем Афин или получить прозвище «афинянин». Словообразовательная модель здесь прозрачна: корень Афин- плюс греческий суффикс -ис, который обозначает принадлежность или происхождение — то же самое, что русский суффикс -ин, но по законам другой языковой системы.

Есть и вторая, менее убедительная версия — искусственное происхождение. В XIX веке в духовных семинариях ученикам нередко придумывали «благозвучные» фамилии от античных топонимов или имен. Афинис могло быть создано для семинариста в честь города Афины или богини Афины. Однако для семинарских фамилий гораздо типичнее окончание -ский (Афинский), поэтому эта гипотеза слабее.

В русском языке фамилия Афинис не склоняется по падежам — ни в мужском, ни в женском варианте, что тоже подтверждает её иноязычное происхождение. Географически такие фамилии встречаются в основном в местах традиционного расселения греков: на юге России, в Крыму, Приазовье, а также среди потомков греческих переселенцев. Встречаемость фамилии крайне низкая, поэтому её носители, скорее всего, связаны одной или несколькими родственными ветвями.