Фамилия Агапонька — редкий случай, когда в основе фамилии лежит не полное крестильное имя, а его уменьшительно-ласкательная форма. Это так называемая «полуотчество»: её давали не по отцу (как Иванов), а напрямую от домашнего, обиходного имени человека.

Корень здесь — Агапон. Это народная, просторечная форма канонического имени Агапий (от греческого агапе — «любовь»). В русском языке имя часто искажалось: из Агапий получался Агап, а затем и Агапон — под влиянием имён на -он (как Платон, Симон). Суффикс -ьк(а) в фамилии — не уменьшительный в привычном смысле (как в «доченька»), а патронимический. В южнорусских и украинских говорах так образовывали фамилии от ласкательных имён: Грицько → Грицько́в, но и Грицько́нка, Агапонька. То есть Агапонька буквально означает «сын (или потомок) Агапона».

Географически фамилия тяготеет к бывшим территориям Черниговской, Полтавской и Курской губерний — там, где была сильна традиция «малороссийских» фамилий на -ка. Встречается она редко: по открытым данным переписей, носителей не больше пары сотен в России и на Украине.

Любопытно, что фамилия избежала типичной адаптации через суффиксы -ов/-ев. Если бы Агапонька попал в великорусскую среду, его бы переделали в Агапоньков (по аналогии с Федька → Федьков). Но форма осталась нетронутой — верный признак того, что фамилия закрепилась в речи ещё до массовой паспортизации XIX века, когда чиновники часто записывали крестьян «как слышали».

Таким образом, предок носителя этой фамилии был, скорее всего, крестьянином или мещанином из южных регионов, которого в быту звали ласково — Агапонька, и это прозвище перешло к детям как родовое имя.