Фамилия Агапов — одна из тех, что образована напрямую от личного имени, без промежуточных прозвищ или ремесленных названий. Её основа — мужское имя Агап, народная и краткая форма церковного имени Агапий (в полной форме — Агапит). В переводе с греческого это имя означает «любимый» или «любовь». Суффикс -ов указывает на принадлежность: Агапов — «сын Агапа» или «потомок Агапа».

Имя Агапий в святцах связано с несколькими раннехристианскими святыми, но в русской традиции наиболее известен преподобный Агапит Печерский, врач безмездный, живший в Киево-Печерской лавре в XI веке. Он помогал многим больным, и, по преданию, именно он исцелил князя Владимира Мономаха от тяжелой болезни, когда того безуспешно лечил армянский врач. Этот сюжет иногда встречается в родословных преданиях — мол, предок был тем самым лекарем или его потомком. Однако с точки зрения ономастики фамилия Агапов не выделяется на фоне других «имённых» фамилий: её получили в разных сословиях и регионах просто по имени родоначальника, без обязательной связи с историческим Агапитом.

Фамилия фиксируется в документах с XVII века. Например, в Книге памяти Республики Башкортостан есть запись об Агапове Александре Николаевиче, родившемся в 1872 году в Оренбургской области, в городе Бугуруслан. Из документов Воронежской области известен хлебороб Агапов Аверьян Иванович, 1876 года рождения, из села Пески Борисоглебского района. Такие записи показывают, что фамилия была распространена в центральных чернозёмных губерниях и в Поволжье — там, где были сильны крестьянские общины и редко встречались прозвищные фамилии.

Среди известных носителей — Герой Советского Союза Сергей Тимофеевич Агапов (1932–2006), заслуженный лётчик-испытатель СССР и мастер спорта международного класса. Фамилия встречается также среди писателей, поэтов, артистов и спортсменов, но это уже не история происхождения, а география её бытования в XX веке.

Словообразовательная модель здесь простая и прозрачная: суффикс -ов присоединён к основе Агап. В отличие от фамилий на -ин (Агапин), которые тоже возможны от этого же имени, форма Агапов более типична для имён, оканчивающихся на твёрдый согласный. Встречается и женская форма — Агапова, но она, как и у большинства русских фамилий, не имеет самостоятельного происхождения.