Фамилия Агапова образована от мужского имени Агап — краткой формы крестильного имени Агапий (церковная форма — Агапит). В переводе с греческого это имя означает «любимый» или «любовь». В ономастике имя Агапий относят к «говорящим»: в раннехристианской традиции его давали в знак божественной любви, а в быту оно могло превратиться в ласковое прозвище.

Суффикс -ов указывает на типичную русскую модель образования фамилий: так называли по отцу. Агапов — значит «сын Агапа». Женская форма Агапова возникает, когда речь идёт о женщине — носительнице фамилии, или о принадлежности к роду Агаповых в целом.

В документах фамилия встречается с XVIII века. В Книге памяти Республики Башкортостан записан Агапов Александр Николаевич (1872 года рождения, Оренбургская область, Бугуруслан). Из архивов Воронежской области известен хлебороб Агапов Аверьян Иванович (1876 года рождения, село Пески Борисоглебского района). Оба примера показывают, что фамилия была распространена среди крестьян центральной России и Поволжья.

Среди известных носителей — Герой Советского Союза Сергей Тимофеевич Агапов (1932–2006), заслуженный лётчик-испытатель СССР. Его биография — редкий случай, когда носитель фамилии связан не с земледелием, а с авиацией, что подчёркивает разброс социальных ролей у Агаповых.

Встречаются и другие однокоренные фамилии: Агапитов, Агапкин, Агапцев. Все они восходят к тому же имени, но различаются суффиксами: -ит-ов (от полной церковной формы), -к-ин (от уменьшительной) и -ев (от варианта имени Агапей). Агапова — самая частотная из них, что логично: краткое имя Агап было удобнее в быту, чем полное Агапий.