Фамилия Агаршева — женская форма, а её мужской вариант Агаршев. В её основе лежит прозвище или нецерковное имя Агарыш (в диалектном произношении — Огарыш). Слово «огар» (или «огарок») в русских говорах имело несколько значений, и каждое могло стать источником прозвища.

Самая распространённая версия связывает прозвище с земледелием. Огарышем называли крестьянина, который жил и обрабатывал участок, освобождённый от леса огнём — на подсеке или пале. Такая практика была обычна на севере и в центральной России. Прозвище закреплялось за человеком, чей надел был недавно выжжен, или за тем, кто переселился на такое место.

Другая версия — внешняя. Огарыш могло указывать на смуглую кожу, тёмные волосы или сожжённое солнцем лицо. В этом случае прозвище было чисто описательным, без связи с родом занятий.

Третья гипотеза отсылает к дохристианским именам-оберегам. В некоторых говорах «агарыш» — это болотный кулик, птица из отряда ржанкообразных. Имена из названий птиц (Сокол, Воробей, Лебедь) были в ходу до крещения Руси и долго сохранялись как прозвища. Если предка звали Агарыш, то имя могло даваться по птице, а не по характеру или занятию.

При образовании фамилии произошло типичное для русской ономастики выпадение гласного «ы»: Агарыш + ев → Агаршев. Суффикс -ев указывает на принадлежность: сын Агарыша. Фамилия встречается в Поволжье и центральных областях, что согласуется с ареалом подсечного земледелия и диалектным словом «огарыш».