Фамилия Агарышева — женская форма фамилии Агарышев. В её основе лежит прозвище Агарыш, и здесь есть как минимум две версии происхождения, обе с тюркскими корнями.

Первая версия отсылает к киргизскому слову «агарыш», что означает «простить друг друга и забыть неприятное прошлое». Если принять это значение, прозвище Агарыш получал человек милосердный, незлопамятный, умеющий прощать обиды. Такая черта характера высоко ценилась в родовом обществе, где добрососедские отношения значили больше личных обид.

Вторая версия связывает прозвище с диалектным словом «огарыш» — так называли остаток свечи, сгоревшую до половины свечу, а также шквару, выгоревшие остатки или осадки от перетопки чего-либо. В этом случае Агарышем могли прозвать человека невысокого роста или смуглого — по аналогии с тёмным, оплавленным огарком. Переход гласной «о» в «а» (огарыш → агарыш) — обычное историческое изменение в русском языке, особенно в безударной позиции.

Модель образования фамилии типична для восточнославянской ономастики: суффикс -ев присоединяется к основе на мягкий согласный (Агарыш → Агарышев). Такие фамилии чаще всего встречались в среде служилых людей и крестьян Поволжья и Приуралья, где было сильное тюркское влияние. Географически фамилия Агарышевы тяготеет к регионам бывшего Казанского ханства и башкирским землям — там прозвища из местных языков легко переходили в русские фамилии.

Какая из двух версий правдоподобнее? Слово «агарыш» в значении «прощение» — более редкое и книжное, тогда как «огарыш» (огарок) — бытовое, живое слово, которое легко могло стать прозвищем по внешнему признаку. Поэтому вторая версия выглядит убедительнее, хотя полностью исключать первую не стоит: милосердие тоже могло стать отличительной чертой человека.