Фамилия Агешкина — женская форма, её мужской вариант Агешкин. С точки зрения словообразования здесь всё прозрачно: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?»), то есть фамилию образовали от личного имени или прозвища Агешка. А это, в свою очередь, уменьшительная форма от канонического имени Агей или Аггей.

Имя Аггей пришло в русский язык из древнееврейского через греческий и означает «праздничный», «торжественный». В святцах это имя встречается, но широкого распространения в народе не получило — оно всегда было относительно редким, особенно по сравнению с Иванами или Петрами. Соответственно, и фамилии от него встречаются нечасто. Агешкин — один из тех вариантов, где имя «обрусело» до простой, почти бытовой формы: Агей превратился в Агешку, как Иван в Ивашку или Павел в Пашку.

Интересно, что в некоторых говорах «агей» или «агейка» могло быть не просто именем, а прозвищем для человека с определённым поведением — например, нелюдимого или угрюмого. Но это скорее народная этимология, а не основная версия. Более надёжно связывать фамилию именно с крестильным именем, тем более что в документах XVII–XVIII веков встречаются и Агеевы, и Агешкины, и Агешины — все из одного гнезда.

Географически фамилия Агешкина не привязана к одной области: она встречается и в центральных регионах России, и в Поволжье. Но из-за редкости имени-основы это всегда была немногочисленная фамилия, не обросшая массой ответвлений. Носительницы фамилии Агешкина, скорее всего, потомки крестьян или посадских людей, у которых имя Агей передавалось из поколения в поколение, пока не закрепилось в фамилии.