Фамилия Ахремчик образована от имени Ахрем — украинской и белорусской народной формы канонического имени Ефрем. Переход «ф» в «х» и начального «е» в «а» — типичная черта восточнославянской народной фонетики, особенно в говорах, где звук «ф» воспринимался как чужеродный и заменялся на более привычный «х». Исходное древнееврейское имя Ефрем (Эфраим) означает «плодовитый, растущий»; в православных святцах почитается четырнадцать святых с этим именем.

Разбираем морфологию. Суффикс -чик в фамилии Ахремчик — не профессиональный (как, скажем, в фамилиях Бондарчук, Ковальчук), а уменьшительно-патронимический. В белорусской и украинской традиции суффикс -чик (как и -ик, -ук, -юк) часто присоединяли к имени отца, чтобы обозначить «сына такого-то» или «маленького, младшего». То есть Ахремчик — буквально «сын Ахрема» или «маленький Ахрем». Такая модель характерна для западных регионов: Полесья, Волыни, Гродненщины, Брестчины.

В польской ономастике есть параллельная форма Achremczyk, что указывает на возможное бытование фамилии на землях бывшей Речи Посполитой. Если ваш предок носил фамилию Ахремчик, он с высокой вероятностью происходил из западнорусских или белорусских крестьян или мещан — именно в этих сословиях уменьшительные патронимы на -чик были распространены особенно широко.

Встречаются и варианты написания: Ахремчук, Ахремов, Ахремич. Но форма на -чик — одна из самых компактных и узнаваемых, она чётко указывает на балто-славянский ареал и на то, что основа фамилии — не прозвище по ремеслу или внешности, а именно крестильное имя.