Фамилия Ахремнко — редкий случай, когда написание почти полностью совпадает со звучанием, но вопросов от этого меньше не становится. Первое, что бросается в глаза: суффикс -нк- в русских фамилиях почти не встречается, зато это типичный белорусский и украинский патронимический формант, уменьшительно-ласкательный вариант от -енк-. Фамилии на -енко (Ахременко) широко распространены на востоке Украины, а форма Ахремнко — это либо диалектное стяжение, либо результат упрощения в написании при записи фамилии в документах XIX века. Человек, носивший такую фамилию, с большой вероятностью происходил с территории современной Беларуси или западных областей Украины, где редукция гласных в суффиксах — обычное дело.

Основа фамилии — имя Ахрем. Это народная, обиходная форма крестильного имени Ефрем (древнееврейское «Эфраим» — «плодовитый», «удвоенный»). В восточнославянской традиции имя Ефрем давали в честь преподобного Ефрема Сирина, и в просторечии оно звучало как Охрим, Ахрим, Ахрем. Фамилия Ахремнко, таким образом, означает «потомок Ахрема» — сын или внук человека по имени Ахрем. Суффикс -нк- здесь выполняет ту же роль, что и -енко, но в более компактной форме: Ахрем-н-ко.

В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые фиксировали принадлежность отцу («чей сын?»), фамилии на -ко и -нко изначально были прозвищными или семейными именованиями, и их носители в массе своей были крестьянами и мещанами, а не дворянами. Ахремнко — фамилия демократичная, без сословной окраски. Её редкость сегодня объясняется не уникальностью корня (Ахременко встречается чаще), а именно локальным бытованием стяжённой формы. Если вы встретили Ахремнко, скорее всего, его предки жили в небольшом регионе, где местный говор «съедал» гласный звук в суффиксе, и эта особенность закрепилась в паспорте.