Фамилия Акильева — женская форма фамилии Акильев, а та, в свою очередь, образована от мужского личного имени Акиль. Это имя — народная, обиходная форма канонического церковного имени Ахилл. В святцах так звали одного из раннехристианских мучеников, но в русской традиции имя прижилось в упрощённом виде: Акил, Акила, Акиль. Суффикс -ев указывает на принадлежность: «сын Акиля» или «из рода Акиля».

Корень фамилии редкий. В отличие от многочисленных Ивановых или Петровых, Акильевы не встречаются на каждом шагу. Имя Ахилл (греч. Achilleus) означает «страдающий» или «вызывающий скорбь» — по мифу о герое Троянской войны, чья мать знала о его короткой судьбе. Но в крестьянской и мещанской среде XIX века об этом вряд ли задумывались: имя воспринимали как простое, своё, и давали детям без оглядки на античную трагедию.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и поволжским областям, а также к Уралу — регионам, где старообрядцы и переселенцы дольше сохраняли архаичные формы имён. Встречаются Акильевы и на Кубани, и в Сибири. Сословная принадлежность предков могла быть разной: от государственных крестьян до однодворцев. Дворянских родов с такой фамилией в гербовниках не зафиксировано — это фамилия простонародная, трудовой среды.

В написании возможна путаница с похожими фамилиями: Акилов, Акилин, Акиньев. Но Акильев звучит мягче, с чётким разделительным «ь», что указывает на исходную форму именно с мягким «л» (Акиль, а не Акил). Если ваш предок носил эту фамилию, он почти наверняка был русским православным или старообрядцем, а его имя — отголосок древнего имени, которое в народе перекроили на свой лад.