Фамилия Акиншец — редкий пример, где географическая привязка важнее корня. Скорее всего, перед нами не великорусская, а украинская или белорусская фамилия, и ключ к ней — в суффиксе «-ец». В русской традиции этот суффикс нечастый, а вот в западнорусских землях он образовывал фамилии по месту жительства: кто откуда родом, того так и называли. Акиншец — это, вероятно, «выходец из Акиншей» или «житель Акиншева». То есть фамилия пошла от названия населённого пункта, а тот, в свою очередь, от прозвища или имени Акинш.

Сама основа «Акинш» — это разговорная, народная форма канонического имени Иоаким (в русском обиходе — Яким, Аким). В диалектах, особенно на юге и западе, «Аким» могло звучать как «Акин» или «Акиня», а уменьшительная форма с суффиксами «-ш-» дала Акинша. То есть Акинша — это тот же Аким, но в ласковом или пренебрежительном варианте, вроде «Акимушка» или «Акимка». Так что в основе фамилии — крестильное имя, широко распространённое в православии, но форма «Акинша» встречается нечасто.

Версия с польским влиянием тоже имеет право на жизнь. Суффикс «-ец» в сочетании с основой на «-ш» типичен для фамилий, которые оформлялись на землях Речи Посполитой. Если предок носил прозвище Акинша (от того же Акима), то его сына или потомка в документах могли записать как «Акиншец» — по той же модели, что и «Петровец» от Петра или «Иванец» от Ивана. Но в таком случае фамилия означала бы не место, а прямое родство: «сын Акинши».

Что касается сословной принадлежности, то фамилии с суффиксом «-ец» в крестьянской среде не редкость, особенно на западе Российской империи. Акиншец мог быть и мещанином, и казаком, и крестьянином — однозначных данных нет. Спор между «топонимической» и «патронимической» версиями решается просто: если на карте Украины или Беларуси найдётся хутор или село Акинши (или Акиншево), то версия с местом жительства становится основной. Если нет — вероятнее, что это прямое указание на отца. В любом случае фамилия редкая, нечастотная, и её носители, скорее всего, сосредоточены в западных областях или среди потомков переселенцев оттуда.