Фамилия Алексеев — одна из самых распространённых в России, входящая в «первый десяток» наряду с Ивановым и Смирновым. Её основа — крестильное имя Алексей, пришедшее из греческого языка со значением «защитник» или «оберегающий». В буквальном смысле Алексеев — это «сын Алексея», «потомок Алексея». Фамилия строится по типичной русской модели: к полной форме имени прибавляется суффикс принадлежности -ев (вариант -ов после мягкого согласного).

Такая широкая распространённость объясняется не только популярностью имени, но и его сословной универсальностью. В XVII веке имя Алексей было одним из самых употребительных среди всех слоёв — от крестьян до бояр. В отличие от фамилий, образованных от уменьшительных форм (Алексашин, Лёшин, Алёхин), Алексеев сохраняет полную, официальную форму имени. Это указывает либо на уважительное отношение к имени, либо на то, что родоначальник носил именно полное имя, а не домашнее прозвище.

В социальном плане фамилия не имеет узкой сословной привязки. Её носили крестьяне, купцы и духовенство. В среде русского дворянства фамилия Алексеев встречалась, но не принадлежала к древним княжеским родам — чаще это были служилые люди, получившие дворянство за выслугу. В крестьянской среде фамилия часто закреплялась за целыми деревнями: если в селе жило много Алексеевых, это означало, что основателем рода был некий Алексей, чьи потомки разрослись в целый клан.

Географически фамилия распространена по всей России, но есть зоны повышенной концентрации: Центральная Россия, Поволжье и северные области. В южных губерниях и на Урале она встречается реже — это связано с более поздним заселением и иными миграционными потоками.

Ошибка в написании, которую вы указали — «Алеексев» — встречается нередко. Она обычно связана с диалектным произношением, где безударные гласные «е» и «и» звучат неразличимо. В документах XVIII–XIX веков, при низкой грамотности населения, писарь мог записать фамилию на слух, и так появлялись варианты вроде «Аликеев» или «Алеексев». В некоторых регионах фамилию могли записывать через «о» — Алексеев, а в других через «а» — Алексев, но нормативное закрепилось написание с двумя «е». Исторически и этимологически верной остаётся форма Алексеев, с корнем, восходящим к греческому «алексиос».